توضیحات
The main topic of this thesis is the stable homotopy theory of dendroidal sets. This topic
belongs to the area of mathematics called algebraic topology. Algebraic topology studies
the interaction between the algebraic and topological structures.
Examples of topological spaces with a very rich algebraic structure are (iterated) loop
spaces. Loop spaces carry an algebraic structure which is called an A-structure, while
infinite loop spaces carry an E-structure. These structures consist of an infinite sequence
of operations that satisfy various coherence laws. As it is difficult to grasp all these data,
one usually uses topological operads to efficiently describe this information. One can think
of operads as carrying blueprints for the algebraic structure which is realized in every
space with that structure. The characterization results for (iterated) loop spaces using
topological operads have been established in the early 1970s by the work of P. May, M.
Boardman and R. Vogt. In the 1990s it became evident that it is important to understand
the homotopy theory operads.
The theory of dendroidal sets provides a new context for studying operads up to homotopy. Dendroidal sets were introduced in 2007 by I. Moerdijk and I. Weiss. Subsequent
work of I. Moerdijk and D.-C. Cisinski shows that dendroidal sets indeed model topological/simplicial operads. An important advantage of dendroidal sets is that the theory is
built in a natural way as a generalization of the theory of simplicial sets. The study of
dendroidal sets is very combinatorial in its nature since it is based on the notion of trees
(graphs with no loops). Also, as a category of presheaves, the category of dendroidal sets
has nice categorical properties.
Simplicial sets provide combinatorial models for spaces (think of it in terms of triangulations of spaces given by simplicial approximations) and dendroidal sets provide combinatorial models for infinite loops spaces as spaces together with complicated algebraic
structure. In fact, the precise formulation of this idea is one of the main topics of this
thesis.
A precise formulation of our results is given in the language of Quillens model categories. Model categories provide a formalism to study and compare homotopy theories in
various contexts (topological spaces, chain complexes, simplicial sets, operads etc.) One
of the main results of this thesis is that the category of dendroidal sets admits a model
structure such that the underlying homotopy theory is equivalent to the homotopy theory
of infinite loop spaces (equivalently, of grouplike E-algebras or connective spectra). We
call this model structure the stable model structure on dendroidal sets.
Constructing a model structure is a tedious job. In our case it requires a great deal
of technical combinatorial results about dendroidal sets (i.e. about trees). In order to
simplify our arguments, in Chapter 4 we develop a combinatorial technique for proving
results about dendroidal anodyne extensions. This technique can be viewed as a result
in its own right as one might apply it also in different ways than it is used in the later
chapters of the thesis.
We give two constructions of the stable model model structure. The first construction is
more elementary and has an advantage of providing a characterization of fibrations between
fibrant objects. This construction is based on standard model-theoretical arguments and
it is given in Chapter 5.
The second construction, given in Chapter 6, is based on the work of G. Heuts. This
approach makes it possible to show that the stable model structure on dendroidal sets
is Quillen equivalent to a model structure on E-spaces with grouplike E-spaces as
fibrant objects. The equivalence to grouplike E-objects (i.e. connective spectra) might
be considered as a solution to the problem of geometric realization of dendroidal sets.
Also, these results open new possibilities to investigate the connective part of classical
stable homotopy theory.
The results of the thesis presented in Chapter 7 go in that direction. In that final
chapter we discuss homology groups of dendroidal sets. This homology theory generalizes
the well-known homology theory of simplicial sets (i.e. the singular homology of spaces).
The generalization is not straightforward because we work with non-planar trees, but we
want to use a certain sign-convention for planar trees. After giving the definition, we
establish that these homology groups are homotopy invariant and that they compute the
standard homology of the corresponding connective spectrum. The results of Chapters 6
and 7 are joint work with T. Nikolaus.
————————————————————–
ترجمه ماشینی :
موضوع اصلی این پایان نامه تئوری هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی است. این مبحث متعلق به حوزه ریاضیات به نام توپولوژی جبری است. توپولوژی جبری تعامل بین ساختارهای جبری و توپولوژیکی را مطالعه می کند. نمونههایی از فضاهای توپولوژیکی با ساختار جبری بسیار غنی عبارتند از (تکرار شده) حلقه فاصله. فضاهای حلقه دارای ساختار جبری هستند که ساختار A نامیده می شود، در حالی که فضاهای حلقه نامحدود دارای ساختار E هستند. این ساختارها متشکل از یک توالی نامتناهی از عملیات است که قوانین انسجام مختلفی را برآورده می کند. از آنجایی که درک همه این داده ها دشوار است، معمولاً از عملیات توپولوژیکی برای توصیف کارآمد این اطلاعات استفاده می کند. میتوان اپرادها را حامل طرحهایی برای ساختار جبری دانست که در هر فضایی با آن ساختار تحقق مییابد. نتایج مشخصسازی فضاهای حلقه (تکرار شده) با استفاده از اپرادهای توپولوژیکی در اوایل دهه 1970 توسط P. May، M. Boardman و R. Vogt ایجاد شد. در دهه 1990 آشکار شد که درک عملیات تئوری هموتوپی مهم است. تئوری مجموعه های دندروییدی زمینه جدیدی را برای مطالعه اپرادها تا هموتوپی فراهم می کند. ست های دندروییدی در سال 2007 توسط I. Moerdijk و I. Weiss معرفی شدند. کار بعدی I. Moerdijk و D.-C. سیسینسکی نشان میدهد که مجموعههای دندرویدی در واقع اپرادهای توپولوژیکی/ساده را مدل میکنند. مزیت مهم مجموعههای دندروییدی این است که این تئوری به صورت طبیعی به عنوان تعمیم تئوری مجموعههای ساده ساخته شده است. مطالعه مجموعههای دندروییدی در ماهیت خود بسیار ترکیبی است زیرا مبتنی بر مفهوم درختان است (نمودارهای بدون حلقه). همچنین، به عنوان یک دسته از presheave، دسته دندرویدال ست ها دارای ویژگی های دسته بندی خوبی است. مجموعههای ساده مدلهای ترکیبی را برای فضاها ارائه میکنند (به آن فکر کنید مثلثبندی فضاها با تقریبهای ساده ارائه میشود) و مجموعههای دندروییدی مدلهای ترکیبی را برای فضاهای حلقههای بینهایت بهعنوان فضاها همراه با ساختار جبری پیچیده ارائه میکنند. در واقع تدوین دقیق این ایده یکی از موضوعات اصلی این پایان نامه است. فرمول دقیقی از نتایج ما به زبان دسته بندی مدل کویلن ارائه شده است. مقولههای مدل فرمالیسمی را برای مطالعه و مقایسه نظریههای هموتوپی در زمینههای مختلف (فضاهای توپولوژیکی، مجتمعهای زنجیرهای، مجموعههای ساده، اپرادها و غیره) ارائه میکنند. به طوری که نظریه هموتوپی زیربنایی معادل نظریه هموتوپی فضاهای حلقه نامتناهی است (به طور معادل جبرهای E-گروهی یا طیف های پیوندی). ما این ساختار مدل را ساختار مدل پایدار در مجموعه های دندرویدی می نامیم. ساختن یک ساختار مدل کار خسته کننده ای است. در مورد ما به مقدار زیادی نتایج ترکیبی فنی در مورد مجموعه های دندرویدی (یعنی در مورد درختان) نیاز دارد. به منظور سادهسازی استدلالهایمان، در فصل 4 یک تکنیک ترکیبی برای اثبات نتایج در مورد پسوندهای آنودین دندرویدال توسعه میدهیم. این تکنیک را می توان به عنوان یک نتیجه به خودی خود مشاهده کرد زیرا می توان آن را به روش های متفاوتی نسبت به استفاده از آن در فصل های بعدی پایان نامه به کار برد. ما دو ساختار از ساختار مدل مدل پایدار ارائه می دهیم. ساختار اول ابتدایی تر است و دارای مزیت ارائه خصوصیات فیبراسیون بین اشیاء فیبرانت است. این ساختار مبتنی بر استدلالهای تئوریک مدل استاندارد است و در فصل 5 آورده شده است. این رویکرد این امکان را فراهم می کند که نشان دهیم ساختار مدل پایدار در مجموعه های دندرویدی معادل یک ساختار مدل در فضاهای E با فضاهای E گروه مانند به عنوان اشیاء فیبرانت است. معادل سازی با اشیاء E-گروه مانند (یعنی طیف های پیوندی) ممکن است به عنوان راه حلی برای مشکل تحقق هندسی مجموعه های دندرویی در نظر گرفته شود. همچنین، این نتایج فرصتهای جدیدی را برای بررسی بخش پیوندی نظریه هموتوپی پایدار کلاسیک باز میکند. نتایج پایان نامه ارائه شده در فصل 7 در همین راستا است. در آن فصل آخر، گروههای همسانی مجموعههای دندروییدی را مورد بحث قرار میدهیم. این نظریه همسانی تئوری معروف همسانی مجموعه های ساده (یعنی همسانی منفرد فضاها) را تعمیم می دهد. تعمیم ساده نیست زیرا ما با درختان غیر مسطح کار می کنیم، اما می خواهیم از یک قرارداد علامت خاص برای درختان مسطح استفاده کنیم. پس از ارائه تعریف، ثابت میکنیم که این گروههای همسانی ثابت هستند و همسانی استاندارد طیف پیوندی مربوطه را محاسبه میکنند. نتایج فصل 6 و 7 کار مشترک با تی نیکولاس است.
tag : دانلود کتاب نظریه هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی , Download نظریه هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی , دانلود نظریه هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی , Download Stable homotopy theory of dendroidal sets Book , نظریه هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی دانلود , buy نظریه هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی , خرید کتاب نظریه هموتوپی پایدار مجموعه های دندروییدی , دانلود کتاب Stable homotopy theory of dendroidal sets , کتاب Stable homotopy theory of dendroidal sets , دانلود Stable homotopy theory of dendroidal sets , خرید Stable homotopy theory of dendroidal sets , خرید کتاب Stable homotopy theory of dendroidal sets ,
دیدگاهها
هیچ دیدگاهی برای این محصول نوشته نشده است.